撰文 | 文蘭（中國科學院院士、北京大學數學學院教授）

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什么是悖論

我們給悖論下一個 " 進行式 " 的定義：悖論就是導致矛盾但原因不明的推理。

根據這一定義，一旦矛盾的原因找到了，悖論也就不再是悖論了。另外，矛盾的原因應該比較難于察覺。

這一定義可能與許多文獻中對悖論的定義不同。筆者主張這一定義。

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理發師悖論

某村有一理發師，恰給本村那些不給自己理發的人理發。請問他給不給自己理發？

若他給自己理發，則他是一個給自己理發的人。按照他的原則，他應該不給自己理發。矛盾。

若他不給自己理發，則他是一個不給自己理發的人。按照他的原則，他應該給自己理發。也矛盾。

這是一段有名的、非常有趣的推理。由于找不出矛盾的原因，這段推理就被稱為 " 理發師悖論 "。

但真的找不出矛盾的原因嗎？

本文的目的就是說明，其實這一矛盾的原因并不難察覺，故理發師悖論不足以稱為悖論。

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理發師悖論的解決

讓我們把理發師悖論再敘述一遍：

某村存在一理發師，恰給本村那些不給自己理發的人理發。請問他給不給自己理發？

若他給自己理發，則他是一個給自己理發的人。按照他的原則，他應該不給自己理發。矛盾。

若他不給自己理發，則他是一個不給自己理發的人。按照他的原則，他應該給自己理發。也矛盾。

如果這一次還不容易看出矛盾的原因，請注意，第二次陳述時，把第一次陳述里的第三個字 " 有 " 換成了 " 存在 "。其他沒動。

這樣一換，是不是比較容易看出矛盾的原因了呢？

是的，應該說這樣一換就比較容易看出，矛盾的原因是假設了這樣一個理發師的存在。因此， 這一矛盾無非說明，具有這種性質的理發師（即恰給本村那些不給自己理發的人理發）在本村不存在罷了。

矛盾的原因找到了，悖論也就不成其悖論了，問題也就解決了。

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文字游戲？

但矛盾的原因是怎樣找到的呢？我們把 " 有 " 換成了 " 存在 "。這是不是文字游戲，是不是偷換概念，是不是改變了問題呢？

當然不是。" 有 " 就是 " 存在 "。把 " 有 " 換成 " 存在 "，沒有改變問題，只是用語更科學、更醒目，使人注意到，原來這里隱藏著一個 " 存在 " 的假設。

假設，或者說前提，對推理是至關重要的。知道有假設，推出矛盾就不會大驚小怪，無非說明假設不正確罷了。但若不知道有假設，推出矛盾就會無法解釋，就要驚呼為悖論了。因此，千萬不要丟失、模糊任何假設。

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引經據典

按說理發師悖論這樣就解決了。不過人們可能不太放心，問題破解得太容易了：只換了一個詞 " 存在 "，就啟發、導致了答案。這個答案太平淡無奇了。

為了讓人徹底相信，這個答案一點也不平淡，問題確實出在存在性上，讓我們引經據典，回顧集合論創始人康托的一個定理。為此先要回顧一下集合論的幾個概念：映射、滿射、子集的集。

設 X 和 Y 為兩個集。所謂一個從 X 到 Y 的映射 f: X → Y 是指一個法則，它對 X 中的每一 x，指定 Y 中唯一一個元素。這個為 x 指定的唯一元素稱作 x 在 f 下的像，記為 f ( x ) 。稱 X 為映射的定義域，Y 為映射的值域。如果值域 Y 中的每一個元素都是定義域 X 中某個元素的像，就稱 f 是一個滿射。如圖所示：

我們還需要一個概念：子集所成的集。設 X 為一個集。用 P ( X ) 表示集 X 的所有子集所成的集。例如，若 X={1, 2, 3}，則

。

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康托定理

康托定理 對任何集 X，不存在從 X 到 P ( X ) 的滿射。

證明 任取一個映射 f: X → P ( X ) 。要證 f 不是滿射。為此令

我們來證明，不存在 z∈X，使得 f ( z ) =C。

為此用反證法。假設存在 z∈X，使得 f ( z ) =C。那么，

若 z∉C，則 z∈f ( z ) 。但 f ( z ) =C，故 z∈C。矛盾。

若 z∈C，則 z∉f ( z ) 。但 f ( z ) =C，故 z∉C。也矛盾。

這說明不存在 z∈X，使得 f ( z ) =C。故 f 不是滿射，康托定理得證。

康托定理是集合論最早，也最重要的定理之一。這個定理之優美，大概可以代表人類的智慧。這個定理一般放在大學數學系的三年級課程《實變函數論》中講，但它幾乎不用什么基礎知識，是中學生可以理解、欣賞的。康托定理的陳述一般為，" 不存在從 X 到 P ( X ) 的一一對應 "，但實際上不存在滿射。不存在滿射當然就更不存在一一對應。

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康托定理與理發師悖論的比較

康托定理與理發師悖論有什么關系呢？

我們來給康托定理一個 " 理發 " 的解釋。用表示該村的人的集。對每一村民 x，用 f ( x ) 表示村里被 x 理發的那些人的集，即 x 的 " 顧客集 "。那么康托所考慮的集合

不存在 z∈X，使得 f ( z ) =C。翻譯成理發的語言就是：

村里不存在這樣的理發師，恰給本村那些不給自己理發的人理發。這是康托證明的一個深刻的事實。

讓我們把康托推理的過程也翻譯成理發的語言看看：

若 z∉C，則 z∈f ( z ) 。但 f ( z ) =C，故 z∈C。矛盾。（若他給自己理發，則他是一個給自己理發的人。按照他的原則，他應該不給自己理發。矛盾。）

若 z∈C，則 z∉f ( z ) 。但 f ( z ) =C，故 z∉C。也矛盾。（若他不給自己理發，則他是一個不給自己理發的人。按照他的原則，他應該給自己理發。也矛盾。）

可見，理發師推理就是康托推理。

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評 述

那么，為什么康托定理與理發師悖論一個是定理，一個是悖論呢？

康托明確寫道，這樣一個 z 的存在只是假設。所以推出矛盾毫不驚訝，而是立即做出結論：不存在這樣一個 z。

理發師悖論卻用日常語言的 " 有 " 模糊了科學語言的 " 存在 "。" 存在 " 換成 " 有 " 以后，就不知不覺從假設變成了天經地義，于是矛盾無法解釋，成了 " 悖論 "。可見，我們在前面把 " 有 " 換回成 " 存在 "，確實不是文字游戲。理發師悖論的問題確實出在存在性上。

但說 " 換回 " 對嗎？誰先誰后呢？

康托定理（1895），理發師悖論（1907），康托在先。因此，說 " 換回 " 是對的。

康托深刻地證明了，不存在這樣一個古怪的理發師。12 年后，理發師悖論全盤照收了康托的推理過程，卻模糊了康托的存在性假設，致使矛盾無法解釋，造成 " 悖論 "。

這不像個惡作劇嗎？

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關于羅素悖論

讀者可能知道羅素悖論，聽說過 " 理發師悖論是羅素悖論的通俗版 " 的說法。如上所述，理發師悖論幾乎是對康托定理的一個惡作劇。那么羅素悖論呢？

這個問題留給讀者追蹤、思考最好。但急于知道答案是人類的優良天性，所以也簡單說明一下：羅素悖論（1902）顯然受到了康托定理的啟發，但它與理發師悖論有很大的不同。它的假設隱蔽得多，以致當時的集合論無法察覺。當然該假設最終還是被后來的集合論徹底破解了，所以羅素悖論早已不再是悖論了。但羅素悖論極大地刺激了當時的集合論，對集合論的進步有重大的意義。

【后記】其實，像理發師悖論這樣易于破解的 " 悖論 " 可以要多少有多少，都是對康托定理的惡作劇。比如 " 恰愛那些不愛自己的人 "，" 恰恨那些不恨自己的人 "，" 恰表揚那些不表揚自己的人 "，" 恰批評那些不批評自己的人 "，" 恰修理那些不修理自己的機器人 "，" 恰引用那些不引用自己的書 "，等等等等。理發作為這些 " 反身及物動詞 " 中的一個只是特別生動形象罷了。