這一切起源于我今天看見我們家的那只柯豬躺在儲藏室門口，活像一大塊才烤好的面包。

它習慣性地把腳縮了起來，一眼看上去就像沒有了腳的狗狗蟲。似乎很多狗狗都喜歡變成狗狗蟲形態，因為經常裝可憐而不禁讓人感嘆真是好可憐的狗 …… 東西（bushi）。

當然，狗狗蟲確實很可愛。柯基能最大程度地變成狗狗蟲還是因為它底盤太低而且多數身（胖）寬（得）體（像）壯（豬）。假如說是一只大長腿的德國牧羊犬的話，它要變成狗狗蟲估計只能小時候略變一變——畢竟要把大長腿完全隱藏起來不出意外應該是練過《九陽神功》之后會縮骨功的。

張無忌：你是不是覺得你很幽默？

言歸正傳，其實狗和狗狗蟲唯一的區別也就是狗有四條腿。如果把狗的四條腿給去掉，或者說，只需把四根腿骨去掉，再把松弛的皮膚拉伸拉伸，狗狗蟲就徹底誕生了。

具體形象可以參考狗狗蟲的近親面包狗和香腸狗

有人可能就要問了，啊為什么骨頭沒了多的皮肉也跟著一起沒了呢。剛才說了，要把松弛的皮膚拉伸拉伸，這個所謂的 " 拉伸 " 就是關鍵。換句話說，其實只要不在身上打個洞，狗狗蟲并不在乎自己變成了什么形狀。狗狗蟲唯一關心的是自己皮是否完整。如果還是不能理解這一過程的話，不妨看看下面的圖。

去骨，拉伸，bang，魔法讓狗狗蟲誕生了（迫真畫技）

于是我們可以得到狗狗蟲的一個特質：狗狗蟲不關心自己的腿有多長，它只關心自己圓溜溜的身體有沒有損傷。假如說狗狗蟲能更 " 收放自如 " 一些，比如連嘴巴、尾巴也能 " 拉伸 "，那么它大可以變成——有耳朵的煩人的橙子。

靈魂畫技

如果我們把狗狗蟲的變化過程嚴格化，我們就可以得到一類操作的性質：在連續變化物體的過程中并不關心各個部分之間的具體距離，而只關心各個部分的位置和整體的性質，或者說，關心的是連續變化之中不變的性質。畢竟你并沒有給狗狗蟲打洞，你也沒有讓狗狗蟲的臉上下顛倒。

經常顛倒別人臉的一般叫做畢加索

其實在狗狗蟲之外，人們已經做了其它很多逆天的變化操作，最著名的當屬甜甜圈變成咖啡杯的例子。

無論是狗和狗狗蟲，還是甜甜圈和咖啡杯，有著一個術語來描述它們之間的關系：拓撲等價。" 拓撲 " 這個詞你們一定聽過，至少也應該聽說過和拓撲有關的著名故事 " 柯尼斯堡七橋問題 "。

柯尼斯堡現在是俄羅斯的加里寧格勒，精德可以落一波淚（bushi）

歐拉關于這方面的工作可以認為是拓撲學早期的開端。當然嚴格來說，要研究拓撲就要引入拓撲空間的概念。拓撲空間的定義列舉如下（看不懂沒關系）：

設 X 是一個集合，O 是一些的子集構成的族，則 ( X,O ) 被稱為一個拓撲空間，如果有：

1. 空集和 X 屬于 O，

2. 中任意多個元素的并仍屬于 O，

3. 中有限個元素的交仍屬于 O。

X 中的元素稱為點，O 中的元素稱為開集。也稱 O 是 X 上的一個拓撲。

至于什么是拓撲等價，用不那么嚴格但是比較直觀的語言可以給出一種定義，即：存在幾個圖形，如果每一個可以從其余任一個圖形經扭轉、彎曲、拉長或收縮得到而不出現任何重疊與斷開，則稱這些圖形拓撲等價，這樣的變換稱為拓撲變換。這種變換的要點在于是不能改變圖形的性質，例如不能把光滑的曲面變出棱角，也不能在沒有洞的表面打個洞。所以即使都是一個整體，《Minecraft》的史萊姆和《泰拉瑞亞》的史萊姆就不可能是一家子——畢竟正方體和一坨光溜溜的還是有本質區別的。

綠豆糕和紅豆團子（bushi）

在進行變換的時候，拓撲等價的圖形具有相同的性質。舉個例子，甜甜圈洞的數量就是一個性質。假如說一個圖形看起來很復雜，但是如果只是研究這些不變的性質的話，我們完全可以做變換之后讓它變得簡單，或者說和我們已知的圖形一致。那么在經典物理領域，什么東西的形狀是最為復雜的呢？按照愛因斯坦的想法，那自然是宇宙啦。（手動狗頭）

當然不排除是魯迅說的

宇宙的問題就在于它太大了，大到沒有邊邊。老愛的廣義相對論說，宇宙是個偽黎曼流形，局部等價于平直的閔可夫斯基時空。然鵝就算是閔可夫斯基時空也太大了，難以把握。但是眾所周知賣酒的水太深，嘎子把握不住但是潘叔可以。能把握宇宙的人也有，那就是羅杰 · 彭羅斯。

羅杰 · 彭羅斯（1931.8.8-），英國數學物理學家，獲得 2020 年諾貝爾獎。

為了方便研究整體時空的拓撲，彭羅斯引入了著名的彭羅斯圖，通過變換之后仍然保持變換前的因果性——只是變換之前一般要對原時空做一點小小的手腳，即在坐標變換下進行最大解析延拓。至于什么是解析延拓，簡單來說就是一個函數在擴大定義域之后，對應擴充的函數需要在連接處光滑且連續。可以證明，解析延拓是存在且唯一的。閔可夫斯基時空較為簡單，可以不需要進行解析延拓。取球面度規：

特定的坐標變換：

可將度規寫成：

由于實際上的參數 r 并不能取到負值，時空只能是新坐標系中的一部分，所以它的彭羅斯圖長這樣：

閔可夫斯基時空的彭羅斯圖上邊界和交點代表了不同意義的無窮遠（r=0 這個邊界是個例外），由于變換采取的是共形變換——共形變換并不是拓撲變換，只是在彭羅斯圖中這兩者一致——這些邊界和交點也被稱作 " 共形無窮遠 "。實際上由于無窮遠代表的是一種趨勢而并非具體值，所以無窮遠并不在時空內部，這些邊界和交點也不能算彭羅斯圖的一部分，這樣才能算保持了拓撲性質 *。在變換之后的彭羅斯圖里，因果性得到保留，測地線在重新選擇參數之后仍然是測地線。由于一個二維的平面圖肯定不能反映一個四維的時空，因此彭羅斯圖內的每一點實際上都是一個二維球面。

實際上閔可夫斯基時空的彭羅斯圖可以繼續延拓成上圖，只不過延拓之后的時空稱為愛因斯坦靜態宇宙，和閔可夫斯基時空的拓撲就不一樣了。

那這會兒就有人要問，啊這是閔可夫斯基的平直時空，彎曲的黎曼時空怎么辦呢？不如來看一個著名的例子：史瓦西時空。

卡爾 · 史瓦西與史瓦西解，該解描述一個靜止的、不帶電的、球對稱的天體外部的引力場。

首先同樣經過一些奇奇怪怪的坐標變換（過程太復雜就不放上來了），我們同樣從球度規變換到了一個新的度規：

這個度規稱為克魯斯卡爾度規，坐標 T 和 R 被稱作克魯斯卡爾坐標。最大延拓意味著 T 和 R 這兩個參數都可以取到整個實數集。實際上由于存在奇點 r=0 和無窮遠，延拓后的時空只是克魯斯卡爾坐標系的一部分。在此基礎上，同樣可以畫出時空延拓之后的彭羅斯圖。

克魯斯卡爾坐標系里的最大延拓史瓦西時空（左）和彭羅斯圖

彭羅斯圖中的Ⅰ區是原始的時空區域（黑洞之外的），Ⅰ’區是時間反演區。Ⅱ區和Ⅱ’區分別稱為黑洞區和白洞區，它們中間的連接點稱為 " 喉 "，也被稱作蟲洞（就是營銷號經常會提到的那個蟲洞）。

我打賭你已經無數次聽說過蟲洞，但是應該沒想到這玩意兒能在這里出現。

這樣通過保持拓撲的變換，一個很大很大的時空就被限制到一個六邊形里，時空的因果仍然得到保留，對于接近無窮遠處甚至奇點的事情也能指著一個點說出它的演化趨勢了。即使對于更復雜的時空，例如史瓦西 - 反德西特時空、克爾時空等等，彭羅斯圖仍然能夠大大簡化時空的圖像——因為克爾解的最大延拓本身是十分難以畫出來的——并很好地描述時空本身，不得不說是十分有力的工具。

自上而下：史瓦西 - 反德西特（Schwarzschild- ( anti- ) de Sitter）時空的彭羅斯圖、雷斯勒 - 諾斯特朗姆（Reissner-Nordström）時空不同情況下的彭羅斯圖、克爾 - 紐曼（Kerr-Neuman）時空不同情況下的彭羅斯圖

當然，彭羅斯圖只是拓撲等價關系在物理里的一小點應用而已。此外凝聚態理論里有能帶拓撲，量子場論里有拓撲場論等。可以想見拓撲研究物理必然是極為有力的工具。

PS：養狗要注意體重哦，我們家的已經開始鍛煉了，大家不要催啦 ~~~

*：此處根據梁燦彬老師的說法，無窮遠和奇點不作為彭羅斯圖的一部分。也有一些老師，例如高能所的黃超光老師，將其視作彭羅斯圖的一部分，那么討論拓撲性質時需要去掉。